Optimering af kasse-volume

Hvis man klipper et stykke papir ud, og folder det til en kasse, får man et volume af en vis størrelse. I dette eksempel bruges et kvadratisk stykke papir, som så skal foldes på en måde, så det giver en kasse med det størst mulige volume. Der er flere måder man kan bruge til at finde den optimale løsning, prøv dem alle af:

  1. Klip ud og prøv dig frem
  2. Tegn graf og aflæs den
  3. Find det optimale volume med regneark (numerisk)
  4. Find det optimale volume med computer program (numerisk)
  5. Regn det optimale volume ud (analytisk, differentiering)

Find ud af om der er forskel på volumens størrelse, afhængigt af hvor stort et hak man folder ind.

Klip ud og prøv dig frem

Denne metode er lidt besværlig, for man skal lave mindst 3 forsøg, før man ved om man er i nærheden af resultatet. Efter disse 3 forsøg, har man måske fundet den optimale løsning. Det er knap så effektivt, men det er et bedre resultat, end ikke noget resultat.

Print 3 stk af 12x12 kassen, og klip henholdsvis 1, 2 og 3 tern ind. Fold kasserne og gæt hvilken en af kasserne der indeholder flest terninger (har det største volume). Tæl eller mål hvor mange tern de indeholder, og skriv det på kasserne. Er volumen det samme for alle kasser, eller hvilken kasse har det største volume?

Se på kasserne, tæl ternene og tast ind på lommeregner.

DXFPDFPS
Opgave 1
12x12kasse.optimering.dxf.gz 12x12kasse.optimering.pdf 12x12kasse.optimering.ps
Opgave 2
7x8kasse.optimering.dxf.gz 7x8kasse.optimering.pdf 7x8kasse.optimering.ps
Klip og regn på 12x12 tern kasser
Print ud
Klip ét hak i hvert hjørne, fx 2x2 tern, bemærk den røde streg
Fold 2x2 flapper ind
Fold 8x2 flapper ind
Sæt en hæfteklamme eller et stykke tape i hvert hjørne
Sæt en hæfteklamme eller et stykke tape i hvert hjørne
Regn ud: Den måler 8x8x2

Det er givet at papiret har 12x12 tern. Man kan nøjes med at bruge 10x12 tern, men det største volume fås ved at bruge alle tern. Volumen kan beregnes ved at gange de 3 sider med hinanden, fx hvis der klippes 1 tern: 1x10x10. Formlen for udregning kan generaliseres ved bruge variablen x, hvor x er det antal tern der klippes ind:

V = h * b * d

V = h * (12 - h - h) * (12 - h - h)

Og hvis vi så sætter h til 2, så bliver det:

V = 2 * (12 - 2 - 2) * (12 - 2 - 2)

V = 2 * (8) * (8) = 128


Tegn graf og aflæs den

En nem måde at få tegnet en graf på, er ved at søge efter formlen i Googles søgemaskine. Søg efter x * (12 - x - x) * (12 - x - x) formlen og se dette resultat:

Flyt musen frem og tilbage over grafen, og aflæse toppunktet øverst i højre hjørne af grafen.

Søger man efter det reducerede udtryk kommer svaret lidt hurtigere, klik her: 4x^3 - 48x^2 + 144x


Find det optimale volume med regneark (numerisk)

En nem måde at finde det optimale volume, er ved at prøve sig frem. Ved at bruge den simple ikke-reducerede formel h * (12-2*h) * (12-2*h), og taste den ind i et Google regneark som her, kan man nemt se hvor volume 'V' stiger og falder. Formlen ser lidt anderledes ud i regnearket, hvor 'h' er udskiftet med 'A6'. Det man så skal lægge mærke til, er hvor toppunktet af volume er, og det er så lige ved h=2 at volume er 128, og det er toppunktet. Ved at tegne en graf, bliver det helt tydeligt hvor toppunktet er.

Formlen for at regne volume ud er 'h*b*d', men da både 'b' og 'd' er afhængige af 'h', så skal vi bare have isoleret 'h', for så der kun er en variabel tilbage.

V = h * b * d

V = h * (12 - h - h) * (12 - h - h)

V = A6 * (12 - A6 - A6) * (12 - A6 - A6)

Find det optimale volume med computer program (numerisk)

Python program

C program


Reducér

V = h * b * d

V = x * (12 - x - x) * (12 - x - x)

V = x * (12 - 2x) * (12 - 2x)

V = 144x - 24x² - 24x² + 4x³

V = 4x³ - 48x² + 144x

Nu er formlen reduceret så meget man kan. Det er en tredjegradsligning. Du har printet, klippet og foldet 3 kasser, og nu kan vi så regne deres volume ud.

TernVolRegnestykkeMellemregning
11004*1³ - 48*1² + 144*14*1 - 48*1 + 144*1
21284*2³ - 48*2² + 144*24*8 - 48*4 + 144*2
31084*3³ - 48*3² + 144*34*27 - 48*9 + 144*3

Det ser ud til at man får det største volume ved 2 tern, men det kan være at 1.5 tern måske giver et større volume. Enten skal vi prøve med alle de tal der er imellem disse tal, ellers skal vi regne ud præcist hvor mange tern der er optimalt at klippe ind i arket.

Prøv først at regne det ud en masse gange. Til det formål er det nemmest med et regneark, såsom OpenOffice Calc, Excel eller Google's regneark. Formlen man skal taste ind i regnearket ser en anelse anderledes ud: =4*A2^3 - 48*A2^2 + 144*A2 , men det er det samme som førnævnte formel hvor X er blevet erstattet af A2. Ved at lave en talrække i første kolonne med 0.1 tern imellem hver linje, kan man afprøve hvor mange tern det er optimalt at klippe ind i arket. Herunder ses det at ved 1 tern, så bliver volumen 100 tern³.


Regn det optimale volume ud (analytisk, differentiering)

Formlen for udregning af volumen er en tredjegradsligning. Det optimale volume er det hvor toppunktet er.

Gnuplot af tredjegradsligning.gp. Denne graf viser tredjegradsligningen 4x³ - 48x² + 144x. Det er tydeligt at toppunktet er ved 2 tern. Vi kan ikke simpelt løse tredjegradsligingen, så vi finder toppunktet, og dermed hvor mange tern ind vi skal klippe.

Hvis man differentiere en tredjegradsligning får man en andengradsligning, og det er det som gøres herunder.

V = 4x³ - 48x² + 144x

V' = 12x² - 96x + 144

Der bruges én differentieringsregel i denne formel, som er hentet fra Wikipedia, Differentialregning:

Formlen giver den aflede .
Eksempel: y(x) = 4x³ => y'(x) = 4*3x³⁻¹ => y'(x) = 12x²

Gnuplot af tredje+andengradsligning.gp. Her ses igen tredjegradsligningen, men nu også den differentierede andengradsligning (blå). V' = 12x² - 96x + 144. Når man differentiere får man en ny graf, hvor alle toppunkterne fra første graf går igennem x-aksen. Den blå andengradsligning skærer altså x-aksen ved 2, og det er lige præcis der hvor toppunktet er.

En andengradsligning, altså denne parabel, kan enten skære x-aksen 0, 1 eller 2 gange. Her ses at den skærer x-aksen 2 gange. I formlen for andengradslgingen indgår dette sære '±' tegn, og det er altså kun den ene af de værdier vi får fra andengradsligning-formlen der kan bruges.

Hvis så indsætter tallenede for vores andengradsligning, får vi to resultater:

2 = (96 - sqrt(96^2 - 4*12*144)) / (2*12)

6 = (96 + sqrt(96^2 - 4*12*144)) / (2*12)

Resultatet er: 2 tern

Det sidste resultat '6' duer ikke, for hvis man klipper 6 tern ind på papiret der måler 12 tern, så får man et volume på 0.


Hjemmeopgave: Find det optimale volume af et A4 ark. Formlen 'h*b*d' bliver så i centimeter 'h*(30 - h - h)*(21 - h - h).


Denne opgave er inspireret af frividen.dk -> Matematik -> Differentialregning -> Optimering , og var oprindeligt beregnet for mindre børn, som under vejledning kan taste tallene ind på lommeregner. Nu er denne side så blevet udvidet med differentialregning og andengradsligninger.


Powered by: Qcad, Gnuplot, LibreOffice, Wikipedia, Linux, Apache, Hans Schou

ISO/IEC 15445